Les baguettes à calculer, ancêtre du boulier


Ce nouvel an chinois, c’est l’occasion de faire un petit peu d’Histoire des mathématiques et de s’intéresser à l’ancêtre du boulier : les baguettes à calculer. C’était des petits bâtonnets de 10cm utilisés par les chinois vers le IIIème siècle av JC. C’est un système positionnel c’est-à-dire que la place des symboles compte. Vous en connaissez un autre système positionnel : tout le monde sera convaincu que si j’écris “1578” et “8157” j’obtiens deux nombres différents. Pour la numération égyptienne, par exemple, ce n’est pas un système positionnel.

La numération à bâtons

La numération à bâtons possède 18 symboles. L’idée est de représenter les chiffres de 1 à 9 à l’aide de baguettes, le 0 étant représenté par un espace vide. Nous allons donc avoir le tableau suivant :

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rods-1a.png Rods-2a.png Rods-3a.png Rods-4a.png Rods-5a.png Rods-6a.png Rods-7a.png Rods-8a.png Rods-9a.png

Le 0 étant représenté par un espace vide pose plusieurs problème à cette numérotation : distinguer 5 et 50 serait difficile. De plus, Rods-3a.pngreprésente-t-il 3 ou 12 ou 21 ? Pour éviter ces confusions, la numérotation utilise une deuxième série de symboles (je vous ai montré que 9 symboles alors que, plus haut, je vous écris qu’il y a 18 symboles : les voilà).

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9
Rods-1a.png Rods-2a.png Rods-3a.png Rods-4a.png Rods-5a.png Rods-6a.png Rods-7a.png Rods-8a.png Rods-9a.png
Rods-1b.png Rods-2b.png Rods-3b.png Rods-4b.png Rods-5b.png Rods-6b.png Rods-7b.png Rods-8b.png Rods-9b.png

Nous avons donc pour un même chiffre, deux symboles. On comprend facilement comment cela marche, si le bâton est horizontal alors il devient vertical et inversement. Les symboles de la première ligne correspondent aux chiffres des puissances paires de 10 c’est-à-dire les unités (100), les centaines(102), les dizaines de millier(104), … et les symboles de la deuxième ligne correspondent aux chiffres des puissances impaires de 10 c’est-à-dire les dizaines (101), les milliers (103), les centaines de millier (105),…

Ainsi,Rods-3a.png correspond bien à 3 ; Rods-1b.pngRods-2a.png correspond à 12 et Rods-2b.pngRods-0.pngRods-1b.pngRods-8a.png correspond à 2018 !

Pour représenter les nombres négatifs, comme dans beaucoup de numérations, il faut trouver un moyen de faire une différence avec les nombres positifs. Cela peut tout simplement se traduire par un changement de couleur (rouge par exemple). Dans certains écrits, on trouve le chiffre le plus à droite barré.

Additionner et soustraire

Comme pour le boulier, il faut partir du poids le plus fort donc calculer de gauche à droite.
Exemple : 1 475 + 254 =

Rods-1b.pngRods-4a.pngRods-7b.pngRods-5a.png
Rods-0.pngRods-2a.pngRods-5b.pngRods-4a.png = Rods-1b.pngRods-7a.pngRods-2b.pngRods-9a.png

On reporte tout de suite la retenue. Dans mon cas, il suffit d’ajouter une baguette au symbole qui est à la place du chiffre des centaines. Pour la soustraction, c’est exactement le même principe.

Multiplier

Calculons 63 x 24. Nous allons utiliser la ligne du milieu pour écrire les résultats intermédiaires à chaque fois.

Rods-0.pngRods-0.pngRods-6b.pngRods-3a.png(63)

Rods-1b.pngRods-2a.pngRods-0.pngRods-0.png(60 x 20 = 1 200)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-2b.pngRods-4a.png(24)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-6b.pngRods-3a.png(63)

Rods-1b.pngRods-4a.pngRods-4b.pngRods-0.png(1 200 + 60 x 4 = 1 440)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-2b.pngRods-4a.png(24)

Dans cette première étape, nous avons “développé” le symbole Rods-6b.png du 63 d’abord au Rods-2b.png du 24 puis au Rods-4a.pngdu 24. Ce qui fait qu’on a calculé 60 x 20 + 60 x 4. Il reste maintenant à faire la même chose avec le Rods-3a.pngdu 63 tout en gardant notre résultat intermédiaire.

Rods-0.pngRods-0.pngRods-0.pngRods-3a.png(63)

Rods-1b.pngRods-4a.pngRods-4b.pngRods-0.png(1 200 + 60 x 4 = 1 440)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-2b.pngRods-4a.png(24)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-0.pngRods-3a.png(63)

Rods-1b.pngRods-5a.pngRods-0.pngRods-0.png(1 440 + 3 x 20 = 1 500)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-2b.pngRods-4a.png(24)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-0.pngRods-3a.png(63)

Rods-1b.pngRods-5a.pngRods-1b.pngRods-2a.png(1 500 + 3 x 4 = 1 512)

Rods-0.pngRods-0.pngRods-2b.pngRods-4a.png(24)

Le résultat final donc Rods-1b.pngRods-5a.pngRods-1b.pngRods-2a.png.

Pour calculer 63 x 24 nous avons finalement décomposé le produit en sommes : 63 x 24 = 60 x 20 + 60 x 4 + 3 x 20 + 3 x 4.

Présentation d’un calcul avec baguettes à calculer – Traité mathématique en neuf chapitres de Qin Jiushao (XIIIème siècle d’où l’apparition des zéros)

Bibliographie

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